算額　続き

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過去記事の再アップです。

（初出２０１６年８月１０日）

 

今とブログの作風がだいぶ違います。

こんなにちゃんと数学の記事を書いていたんだ。

 

最近は軽すぎる・・・反省・・・

 

 

前回のお話

 

半径rの5つの円があり、それらの中心が正五角形を作るように接している。
上の図のように、5つの円と接す長方形の辺ABの長さは？

 

 

 

 

 

 

 

辺ABの長さ＝正五角形の対角線＋2r

 

 

正五角形の一辺の長さは2r

正五角形の対角BEの長さを求めましょう

 

方針

（ⅰ）△ABE∽△FEA　より　AB：BE=FE：EA

FEの長さが未知なので求めたい

 

（ⅱ）△BFAはBF=BAの二等辺三角形

　　　BF=BA=2r

 

（ⅲ）AB：BE=FE：EA、FE=BE-BF=BE-2r　より

　　BEを求める

 

以下、順次証明します

 

（ⅰ）

△ABEはAB=AEの二等辺三角形

∠BAE=108°∠ABE=∠AEB=36°①

また　△ABE≡△EAD　

∠EAD=∠EDA=36°

 

よって△FEAにおいて　∠FAE=∠FEA=36°　②

①②より二組の角がそれぞれ等しいので　

△ABE∽△FEA

よってAB：BE=FE：EA　③

 

 

BEとFEの二つが未知で、困る。BEをFEで表すとかできないか？

 

（ⅱ）

∠CAD=∠FBA=36°

∠ADC= ∠BAF=72°

二組の角がそれぞれ等しいので

△ACD∽△BFA

また、△ACDはAC=ADの二等辺三角形

よって　△BFAで　BA=BF=2r

 

（ⅲ）

AB：BE=FE：EA

AB=2r

FE=BE-BF=BE-2r

より

2r：BE=BE-2r：2r

BE=xとすると、

2r：x=x-2r：2r

続きは入力できないので画像で

 

 

辺ABの長さは(3+√5)r

（画像で「正方形の一辺」とあるのは辺ABの間違いです）

 

 

言い換えれば

 

正五角形の一辺：対角線

＝２ｒ：（３＋√５）ｒ

＝１：（１＋√５）／２

 

 

この正五角形はコンパスと定規で作図できます

色を塗ると、ほらこんなに美しい