おはようございます。
子鉄の算数の過去問を見ていたら、「完全数」を背景とした問題が出題されていました。
えっ、こんなことまで題材にするの？って。
ちなみに完全数とは、 「真の約数の和が自分自身になる数」のことです。
例えば、6 の約数は 1、2、3、6 の四つですが、「真の約数」 とは自分自身より小さな約数ですので、1、2、3 の三つです。 これを全て足し合わせると 6 に戻ります。したがって 6 は完全数です。 このような性質を持つ数は極めて珍しく、 例えば10 の真の約数は 1、2、5 ですので、全て足しても 10 に満たず「不足数」と呼び、 12 の真の約数は 1、2、3、4、6 ですので、全て足すと 12 を超えてしまい「過剰数」と呼びます。 6 の次の完全数は 28 、496、8128です。過去問では496×2＝31×2×2×2×2×2＝（32－1）×32を使って、496の次の完全数8128を考えさせています。レベルが高すぎ！
1から100までのうち60がいちばん約数が多く、一番の過剰数です。
時間の単位が60進数なのは時間をいろいろ等分して考える時に便利なようにと考えられたのかもしれませんね。
さて、「完全数」で真の約数の和を使ったところで、よく似た「調和数」を思い出したので調べてみました。
（以下はネット記事からの抜粋です）
調和数とは「約数の調和平均が整数であるような数」です。
調和平均とは聞き慣れないかもしれませんが、「逆数の平均の逆数」です。
例えば、6 の約数は 1、2、3、6 なので、 これらの逆数の平均 を計算すると
1÷【（1+1/2+1/3+1/6)÷4】=2 調和平均は 2 です。これは整数ですから 6 は調和数です。
このような性質を持つ数は、 完全数ほどではありませんがかなり珍しく 完全数は調和数でもあります。
調和平均とは「逆数の平均の逆数」です。
ではここで「仕事算」の典型例題を1つ。
【問題】
「ある一定量の仕事があります。太郎君が１人でやれば3時間で終わる仕事です。 また、次郎君が一人でやれば6時間かかります。 2人で協力すれば何時間で終わるでしょうか。」
全体の仕事量を1とした時に、太郎君は1時間で仕事の 1/3 を済ますことができる。 次郎君は1時間で仕事の 1/6 を済ますことができる。 よって、二人で協力すれば、1時間で仕事全体の(1/3+1/6 = 1/2）を済ますことができる。 したがって、1÷1/2=2時間と答えを出します。
「太郎君と次郎君の「平均的な」能力の持ち主」が一人で仕事をするならば、 1÷(1/2÷2)=4時間かかることになります。よって、3（時間）と6（時間）のある意味での平均が4（時間）であると考えられます。これがまさに調和平均を計算していることになっているのです。
高校数学で 一般に n 個に対して「相加平均≧相乗平均≧調和平均」が成り立つことを習いました。
もう一つ、調和平均が登場する問題の例について。
【問題】
「行きは時速4km、帰りは時速6kmで歩いた場合、平均時速は何kmですか」
これも典型問題ですね。
平均時速とは時速の (相加) 平均ではなく、 全体の距離を全体の時間で割ったものですから注意が必要で、 答えは時速4.8kmになります。時速4kmで歩いた時間の方が長いので相加平均の時速5kmよりも遅いのです。
この 4.8 という数は、4と6の調和平均です。（ 1÷（1/4+1/6）/2））=24/5=4.8
実は調和平均の考え方は算数でも習っていたんですね。
算数恐るべし。