以前の記事の続きです。
今年出された植木算の問題の第2回です。
その1（桃山学院2026）
右の図のような、たて54m、横96mの長方形の土地があります。この土地の周りに、同じ間かくで桃の木を植えようと思います。4つのかども植えて、木の本数をもっとも少なくするとき、桃の木は何本必要ですか。
❶4つのかどに植えるのでまず4本必要
❷54（＝6×9）と96（＝6×16）の最大公約数は6だから「木の本数をもっとも少なくするとき」の間隔は6ｍ
- すると54ｍのタテ方向に9個の間隔ができるので間隔どうしの間に9－1＝8本を植えることとなる。これが左右にあるから8×2＝16本が必要
- また96ｍの横方向に16個の間隔ができるので間隔どうしの間に16－1＝15本を植えることとなる。これが上下にあるから15×2＝30本が必要
よって桃の木の必要本数は4+16+30＝50本
その2（大妻多摩2026第3回）
池の周りに、木が9mおきに42本植えてあります。また、木と木の間には75cmおきに杭(くい)が打ってあります。杭は全部で何本打ってありますか。
- 「木が9ｍおきに」植えてあり「木と木の間には75cmおきに杭」が売ってあるから木と木の間にある間隔の数は900÷75＝12個。すると木と木の間に打ってある杭の数は12－1＝11本
- 池の周りの問題なので間隔と木の数は同じだから植えてある木が42本なら木と木の間隔の数も42個
よって11×42＝462本
その3（田園調布学園2026第3回）
面積が9㎠である正三角形を考えます。これを図1のように、合同な9つの正三角形に分けたとき、元の正三角形の真ん中にある点をPとします。
図2のように、面積が9㎠である正三角形を2個用意し、一方の1つの頂点を他方の点Pの位置に重ねて、各辺どうしが平行になるようにして貼(は)り付けます。図3は、この作業を繰(く)り返して、いくつかの正三角形をつなげたものです。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 図3のように10個の正三角形をつなげました。
①できあがった図形の面積は何㎠ですか。ただし、たとえば図2の図形の面積は17㎠です。
- 「面積が9㎠である正三角形」なのでこれが10個あれば9×10＝90㎠
- ただ「図2の図形の面積は17㎠」ということは、2個つなげるとのりしろが9×2－17＝1㎠できるということ
- すると図3のように10個つなげるとのりしろが10－1＝9個できる
よってできあがった図形の面積は90－1×9＝81㎠
②できあがった図形の周の長さは、元の正三角形1個の周の長さの何倍ですか。ただし、たとえば図2の図形の周の長さは、元の正三角形の周の長さの1⅔倍です。
「図2の図形の周の長さは、元の正三角形の周の長さの1⅔倍」ということは（1×2－1⅔＝⅓より）のりしろ1個につき⅓の長さが短くなるということ
よって9個あるのりしろを考えるとできあがった図形の周の長さは1×10－⅓×9＝7倍
⑵ 図3のようにいくつか正三角形をつなげました。できあがった図形の周の長さが元の正三角形1個の周の長さの67倍となるのは、正三角形を何個つなげたときか、求めなさい。また、なぜそうなるのかを図や式などを使って説明しなさい。
- はじめの1個の周の長さを1とすると、2個目からあとは1個につき⅔ずつ長くなると考えることができる
- すると周の長さの合計67から1個目の1を引くと66。これは66÷⅔＝99個を後ろにつなげたということ
よって1+99＝100個
⑶ 図4は、図3の方法で6個の正三角形をつなげたもので、これを「図形A」とよぶことにします。いま、図形Aを3本作り、これらをつないで新しい図形を作ります。ただし、一方の図形Aと他方の図形Aをつなぐときは、互いの端(はし)にある正三角形については図2の方法を用います。また、図5は、できあがった新しい図形の一例です。
①新しい図形のうち、面積が最も大きくなるものは何㎠ですか。
②新しい図形のうち、面積が最も小さくなるものは何㎠ですか。
①面積が最も大きくなるもの
できるだけのりしろを少なくしたいから、次のように3つの図形Aを横一列に並べることとなる。
このとき
- 正三角形が6×3＝18個で9×18＝162㎠
- のりしろが18－1＝17個で1×17=17㎠
よって162－17＝145㎠
②面積が最も小さくなるもの
今度はできるだけのりしろを多くしたいから、次のように3つの図形Aを三角形状に並べることとなる。
このとき
- 正三角形が162㎠
- 大きな三角形を作るためののりしろが6×3＝18個。また3つある頂点で重なりが3個できる（大きさはのりしろと同じ1㎠）。合計すると18+3＝21個だから21㎠
よって162－21＝141㎠ 
の長方形）
