ご訪問ありがとうございます。雨降りに乗じて１００記事チャレンジ中。今日中に完了したら万々歳。いちおう緩く締め切りは明日３日中です。
ん？３日って仕事あるよね？予習しましたかぁ？いつするのかな？知らない。
さて、京大数学も意外に中学数学の知識で解けちゃいます。論証は厳密に、高校数学ですよ。でもとっかかりは、円周角の定理だったりするのです。
京都大 理系 ２０１２年
第５問
次の命題（ｐ）（ｑ）のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ正しければ証明し、正しくなければ反例を上げて正しくないこと説明せよ。
（ｐ）正ｎ角形の頂点から３点を選んで内角の1つが６０°である三角形を作ることができるならば、ｎは３の倍数である。
（ｑ）△ABCと△ABDにおいて、AC＜ADかつBC＜BDならば、∠C＞∠Dである。
※以下は専門家によるチェックを経ていないので、正確を期する方は大手予備校の解答などをご覧になる方がよいと思います。
（ｐ）
正しい。背理法で証明する。
ｎが３の倍数でないとき、正ｎ角形の頂点から３点を選んで内角の１つが６０°である三角形を作ることができると仮定する。
このとき、ｎ＝３ｋ＋１、３ｋ＋２（ｋは０以上の整数）のいずれかで表せる。
正ｎ角形に外接する円を考える。半径１としても一般性は失われない。
頂点から３点を選んだ△ABCにおいて、∠BAC＝６０°のとき、円周角に対応する中心角∠BOC＝１２０°
このとき、弧BC＝２π×１／３＝２π／３
１）ｎ＝３ｋ＋１のとき
正ｎ角形の一辺に対応する中心角は３６０°／３ｋ＋１
よって弧DE＝２π／３ｋ＋１
弧BCと比較すると、
BC：DE＝ｋ＋１／３：１
となり、BCはDEの整数倍ではない。
これは、点B、Cが正ｎ角形の頂点であることと矛盾する。
２）ｎ＝３ｋ＋２のとき
正ｎ角形の１辺に対応する弧DEは２π／３ｋ＋２ となり、弧BCと比較すると、
ｋ＋２／３：１
となり、弧BCは弧DEの整数倍ではない。
これは、点B、Cが正ｎ角形の頂点であることと矛盾する。
１）２）より、ｎは３の倍数である。
（ｑ）は、次回に。
最後までお読みいただきありがとうございます。
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