おはようございます。
ついこの間の中学受験の頃に意識していた2020年問題。
今年の大学入試でも出題されていました。
一橋大学の整数問題です。
この問題は解く過程でマイナスの概念が出て来るので小学生の範囲外ですが、数字の設定を変えれば小学生でも十分回答可能な問題です。
この問題は解く過程でマイナスの概念が出て来るので小学生の範囲外ですが、数字の設定を変えれば小学生でも十分回答可能な問題です。
しかも小学生が塾で習っていることが問題の背景になっている実に学びのある問題です。
えっ、どこが？
たとえば、規則性の単元で
3で割って２あまり、5で割って1あまる整数を15で割ったらいくつあまりますか？
って算数では基本問題ですよね。（小学生の範囲なので自然数で考えます。）
3で割って２あまるのは2,5,8,11,14,・・・
5で割って1あまるのは1,6,11,16,・・・
共通しているのが11だから両方の条件を満たすのは最初が11で以降は15の周期をもつ15k+11（0≦k）と言えます。
なので15で割ったらあまりは11。
これって、実は数学的には中国剰余定理というものが背景にある非常に高度なことをやっていたんですね。ユークリッド原論を拡張した世界です。だから受験算数って奥が深いと思うんです。
簡単に言うと、
互いに素なある数n1、n2で割ったあまりの条件がそれぞれ決まっていたら、それぞれの条件を満たす数を「n1×n2」で割ったあまりは唯1つ決まる
というものです。
上の例で言うと、3と5は互いに素で3×5=15で割ったあまりはただ1つ決まるということで問題が成り立っています。
ではこれがなんでこの一橋の問題に関係するかというと
2020を素因数分解すると2020=2^2×5×101です。
これを2020=20×101とみて、10^10を20で割った時のあまりと101で割った時のあまりを計算し、そこから20×101＝2020で割ったあまりがただ1つ決まるということへつながっています。
2020の素因数分解から仮に20と101のペアでなく4と5と101の3つのペアで考えても結論は同じです。
4の倍数かつ5の倍数は20の倍数です。
そしてこの場合はnが3つになる中国剰余定理の一般化の話へつながります。
ちなみに10^10≡（10^2）^5≡（-1）^5≡(-1）≡100 (mod101）
10^10≡0 (mod20）
101で割ってあまり100、20で割ってあまり0になるような数は2020k+100という周期なので2020で割るとあまりは100と出せます。
もしくは数Ⅰで習う式変形を考えて
101a+100=20b (a,bは整数）
これをみたすa,bの組み合わせの1つはa=0,b=5
これを使って101×（a-0）＝20×（b-5）
101と20が互いに素なのでa=20k, b-5=101k （kは整数）と表せる。
101a+100=101×20k+100=2020k+100なので2020で割ればあまり100になる。
と式展開による説明もできます。
ここで出てきた「互いに素」の概念は公約数が1のみと塾では習いますが、実は広がりのある奥の深い概念です。
2番の問題は条件を満たす数をＮとした時に
（ⅰ）Ｎ＝2×10^99 ⇒これは101の倍数にはならないからダメ
（ⅱ）Ｎ＝10^99+10^k (1≦k≦98）
ただしＮが20の倍数になるには2≦kである必要がある。
Ｎが101で割った時のあまりを考えると周期が見えてきます。
そして最終的に24個と出せます。
整数問題は中学、高校と進むと具体的な数字の世界から抽象性が増すので非常に難しく感じますが方針を考える時にまずやることは受験算数となんら変わりはないです。
問われていることの理解と実験から規則を見つける。
かくいう私は、受験算数の勉強を子鉄とするまで整数問題は大嫌いな分野でした(^^♪